Welkom bij de pagina's van C. Vos

De wereld is reuze interessant

Het gedrag van klokken op een roterend referentielichaam.

Een gedachte-experiment.

Stel, er is een ruimte-tijdgebied waarin geen gravitatieveld heerst. In dat gebied is er een om het middelpunt eenparig roterende schijf met daarop een waarnemer. Buiten de schijf is er een tweede waarnemer in rust t.o.v. de roterende schijf. De eerste experimenteert met een tweetal klokken van gelijke constructie. Op twee plaatsen die hem bijzonder voorkomen, plaatst hij zijn klokken

De eerste plaats die hem bijzonder voorkomt, was de plaats waar hij geen kracht ondervond: Dat was in het middelpunt van de schijf. De waarnemer op de schijf heeft niet het besef dat dit punt precies het middelpunt van de schijf is. Hij is zich zelfs niet bewust dat hij zich op een roterende schijf bevindt. Omdat hij de schijf als in rust beschouwt, neemt hij aan dat wanneer hij zich verder verplaatst over de schijf vanaf de positie van de eerste klok er een kracht op hem werkt die hij verklaart als gravitatie

Een eind verderop op de schijf plaatst hij zijn tweede klok en terwijl hij dus die "gravitatie" voelt, constateert hij dat de klok aldaar langzamer loopt dan de eerste klok, geplaatst in het middelpunt van de schijf. Beide klokken bevinden zich in rust t.o.v. de schijf

Zijn uitleg van de situatie is: Ik bevind mij in een gravitatieveld en daardoor loopt de klok hier langzamer.

De waarnemer buiten de roterende schijf ziet hetzelfde verschijnsel en verklaart het anders: De klok die hij met de schijf ziet meeroteren, is in beweging en daarom loopt die klok trager dan de klok in het middelpunt van de schijf. Hij weet dat omdat de uitkomsten van de Speciale Relativiteitstheorie hem bekend zijn

Tot zover de redenering van Einstein. 1)

De waarnemer buiten de roterende schijf weet ook dat de tijdvertraging door de snelheid bedraagt:

         t = t' / √(1-v2 / c2)                    (zie bijlage 4 voor afleiding)                            (1)

Daarin zijn:

         t = tijd op de roterende schijf voor de klok die met de schijf meeroteert,

         t' = tijd op de roterende schijf voor de klok in het middelpunt,

         v = tangentiele snelheid van de klok die met de schijf meeroteert,

         c = lichtsnelheid

De waarnemer op de schijf verklaart de kracht die hij ondervindt buiten het middelpunt dus als zwaartekracht en daarvoor geldt:

         Fg = GMm/R2                                                                                                     (2)

Daarin zijn:

         Fg= zwaartekracht,

         G = universele gravitatieconstante,

         M = massa van veronderstelde gravitatiebron,

         m = massa van de waarnemer op de schijf,

         R =afstand van de waarnemer op de schijf tot middelpunt van veronderstelde gravitatiebron

De waarnemer buiten de schijf komt tot de conclusie dat de waarnemer op de schijf een kracht ondervindt, nl. de centrifugaalkracht , waarvoor geldt:

         Fc = mv2/R                                                                                                         (3)

Daarin zijn:

         Fc= centrifugaalkracht,

         m = massa van de waarnemer op de schijf,

         v = tangentiele snelheid van de klok die met de schijf meeroteert,

         R = de afstand van de klok die met de schijf meeroteert tot het middelpunt van de schijf

De zwaartekracht is een gevolg van de zware massa, de centrifugaalkracht een gevolg van de trage massa van een object.

De identiteit van zware massa en trage massa, zoals afgeleid in de Algemene Relativiteitstheorie, rechtvaardigt de volgende stap:

         Fc= Fg                                                                                                              (4)

of:     mv2/R = GMm/R2                                                                                          (4a)

Hieruit volgt:

         v2= GM/R                                                                                                 (5)

Substitutie in (1) geeft

         t= t'/√(1-GM/Rc2)                                                                                           (6)

Deze formule geeft de tijdvertraging in een gravitatieveld.

Hierin is:

         R = afstand vanaf middelpunt van de roterende schijf tot de klok die met de schijf meeroteert en de afstand van deze klok tot het centrum van de veronderstelde gravitatiebron. Aangenomen is dat deze gelijk zijn. Daaruit volgt een waarde voor M om de gelijkheid van de vergelijking te waarborgen. Overige variabelen en constanten als boven.

Massa en straal van een zwart gat

De uitdrukking onder het wortelteken van (6):

         1 - GM/Rc2                                                                                                        (7)

kan worden geschreven:

         GM/Rc2 <= 1                                                                                                       (7a)

Nadert GM/Rc2 tot 1 dan nadert t in (6) tot oneindig en dan wordt daarmee de toestand bereikt aan de horizon van een zwart gat: De tijd staat stil. Zou GM/Rc2 groter worden dan 1, dan wordt de wortel in (6) negatief en de uitkomst imaginair. GM/Rc2 kan dus niet groter worden dan 1.

Uitgaande van de toestand dat t=oneindig in (6), dan geldt voor een zwart gat de relatie:

         GM/Rc2 = 1                                                                                                       (7b)

Daaruit kan worden afgeleid:

         M/R =c2/G                                                                                                        (8)

Hieruit moet blijken dat er een vaste relatie is tussen de massa en de straal van een zwart gat, gegeven door de constante : c2/G

De waarde ervan is:

         c2/G = 1,3470E27 kg/m       ( E27 = 1027 )                                                 (8a)

Omdat c en G beide universele natuurconstanten zijn, kan dat wellicht ook worden gesteld voor de boven afgeleide relatie van deze constanten

Dimensie-analyse van c2/G: c=m/s, G = Nm2/kg2, N =kg*m/s2. Met wat algebra komt hieruit voor c2/G = kg/m

Voor de minimum straal van een zwart gat geldt dan:

         Rmin = GM/c2                                                                                                   (8b)

Omdat uit een zwart gat geen licht kan ontsnappen moet de ontsnappingssnelheid tenminste gelijk zijn aan de lichtsnelheid.

Voor de ontsnappingssnelheid van een object uit het zwaartekrachtveld van welk hemellichaam dan ook, geldt de formule:

         Vesc = √(2GM/R) 2)                                                                                          (9)

Voor een zwart gat geldt dan:

         c = √(2GM/R)                                                                                                   (9a)

Of:     c2 = 2GM/R                                                                                                       (9b)

Voor de straal R geldt dan:       R = 2GM/c2                                                               (9c)

Dit is de Schwarzschildstraal 3)

Deze straal blijkt 2 maal de minimum straal te zijn van een zwart gat zoals boven afgeleid

Hieruit zou kunnen worden geconcludeerd dat de straal van een zwart gat zich bevindt tussen (8b) en (9c), waarbij (8b) dan een minimum is en (9c) een maximum

Zwarte gaten expanderen door invallende materie

De hierboven afgeleide relatie M/R =c2/G = constant, houdt in dat bij toename van de massa van een zwart gat ook de straal in dezelfde mate moet toenemen. Een zwart gat zal dus expanderen als gevolg van invallende materie. De gevolgen daarvan zijn:

- toename van het oppervlak van een zwart gat,
- toename van het volume,
- afname van de dichtheid,
- afname van de rotatiesnelheid

Toename van het oppervlak van een zwart gat door toename van de massa

Als twee zwarte gaten van dezelfde massa M en straal R zich verenigen tot een zwart gat dan zal het oppervlak van het nieuw ontstane zwart gat als volgt toenemen (aangenomen is dat de zwarte gaten nagenoeg bolvormig zijn):

Volgens M/R = constant, zal het nieuw ontstane zwart gat een massa hebben van 2.M en een straal van 2.R

De som van de oppervlakken van de oorspronkelijke twee zwarte gaten is:

         2.4.Π.R2 = 8.Π.R2

Het oppervlak van het nieuwe zwart gat wordt:

         4.Π.(2.R)2 = 16.Π.R2

Dit is 2 keer de som van de oppervlakken van de oorspronkelijke twee zwarte gaten

N.B. Stephen Hawking komt tot de conclusie dat als twee zwarte gaten een zwart gat vormen, het oppervlak van het nieuwe zwart gat groter dan of gelijk zal zijn aan de som van de oppervlakken die de waarnemingshorizonten van de oorspronkelijke zwarte gaten omsloten. (A brief history of time, Ned. vert. blz 127)

Hij komt overigens tot deze conclusie op geheel andere gronden als die boven zijn gebruikt

Toename van het volume van een zwart gat bij toename van de massa

Als twee zwarte gaten van dezelfde massa M en straal R zich verenigen tot een zwart gat, zal het volume van het nieuw ontstane zwarte gat als volgt toenemen:

Volgens M/R = constant, zal het nieuw ontstane zwarte gat een massa hebben van 2.M en een straal van 2.R

De som van de volumes van de oorspronkelijke twee zwarte gaten is:

         2*4/3.Π.R3 = 8/3.Π.R3

Het volume van het nieuwe zwarte gat wordt:

         4/3.Π.(2R)3 = 32/3.Π.R3

Dat is 4x de som van de volumes van de oorspronkelijke twee zwarte gaten.

Afname van de dichtheid van een zwart gat bij toename van de massa

Omdat de massa van het nieuwe zwart gat is verdubbeld en het volume 4x groter is geworden, is de dichtheid met de helft afgenomen.

Afname van de rotatiesnelheid van een zwart gat bij toename van de massa

Als twee zwarte gaten van dezelfde massa en straal zich verenigen, zal de rotatiesnelheid voor het nieuw ontstane zwarte gat minder zijn dan voor de twee oorspronkelijke gaten afzonderlijk. Stel dat beide zwarte gaten hetzelfde impulsmoment hebben in dezelfde richting en beide een massa M en straal R.

Volgens M/R = constant, zal het nieuwe zwarte gat een massa van 2M en een straal van 2R bezitten. Het impulsmoment is gegeven door L = I.W waarin:

         L = impulsmoment,

         I = traagheidsmoment,

         w = hoeksnelheid

Voor I geldt: I = f.M.R2, waarin f is een evenredigheidsconstante voor de vorm van het roterend object. Voor een schijf is f =1/2 en voor een bol is f =2/5.

Aangenomen is dat een snel roterend zwart gat eerder schijfvormig zal zijn en een langzamer roterend zwart gat eerder naar de bolvorm neigt.

Berekening van het nieuwe impulsmoment:

De wet van behoud van impulsmoment eist dat het impulsmoment van het nieuw gevormde zwarte gat gelijk is aan de som van de impulsmomenten van de oorspronkelijke twee zwarte gaten:

         L2 = 2.L1

         L1 =I1.w1 = f1.M1.R12.W1

         L2 = I2.w2 = f2.2.M1.(2.R1)2.W2

         L2 = f2.8.M1.R12.W2 = 2.f1.M1.R12.W1

         W2 = f1/f2.1/4.W1

         f1/f2 = 1/2. 5/2 = 5/4

         W2= 5/4.1/4.W1 = 5/16 W1 Å1/4.W1

 

De hoeksnelheid van het nieuwe zwarte gat is dan ongeveer een vierde van die van de oorspronkelijke twee zwarte gaten.

Massa en straal van het Heelal

Uit het voorgaande blijkt dat, volgens de formule M/R = c2 / G    (8), een steeds toenemende hoeveelheid materie van een zwart gat een steeds groter volume gaat innemen met een steeds verder afnemende dichtheid.

Daaruit ontstaat de vraag wat er gebeurt als alle materie in het Heelal tot een zwart gat 'samenklontert'.

Volgens de gangbare theorie zou dan het Heelal inkrimpen en de zwaartekracht er toe leiden dat alle materie tot een oerdichtheid zou terugkeren in een "big crunch".

Laten we volgens formule (8) eens narekenen wat er gebeurt met de 100 miljard galaxies met elk 100 miljard sterren van gemiddelde grootte van onze zon.4)5)

De massa van het Heelal zou dan bij benadering bedragen:

         100E9*100E9*1,991E30 = 1,991E52 kg                 ( Zonsmassa = 1,991E30 kg)

Stel dat het Heelal een zwart gat zou zijn dan kan de straal van het Heelal worden berekend met behulp van formule (8). De minimumstraal van het Heelal is dan :

         Rmin =1.991E52/1,3470E27 = 1,478E25 m

De Schwarzschildstraal van het Heelal is dan:

         RSch = 2*Rmin = 2,956E25 m

Dichtheid van het Heelal vlgs bovenstaande berekening

         dichtheid = massa /volume

         massa = 1.991E52 kg

         volume = 4/3*Π*R^3 = 4/3*Π*2.956E25^3 = 1.082E77 m3

Dichtheid van het Heelal is dan: 1.840E-25 kg/m3

Huidige schattingen van massa en straal van het Heelal

Uit verschillende bronnen in de literatuur zijn schattingen genoteerd over de dichtheid en straal van het Heelal, waaruit de massa en de straal van het Heelal zijn te benaderen (zie bijlage 2).

Uit deze literatuur is gekozen voor een dichtheid van 1E-26 kg/m3 en een straal van 1E26 m

De massa van het Heelal is dan: Massa = dichtheid* volume:

         M =1E-26*4/3*Π*1E26^3 = 4.189E52 kg

Vergelijking van massa,straal en dichtheid van het Heelal vlgs de eerste berekening als voor een 'zwart gat' met die vgls de huidige schattingen zoals boven gegeven

                                                 massa kg            straal m              dichtheid kg/m3

Vlgs berekening                        1.991E52             2.956E25              1.840E-25

Vlgs schatting                           4.189E52             1E26                     1E-26

Deze waarden liggen weinig uiteen, zodat daaruit de conclusie zou kunnen worden getrokken dat het Heelal een zwart gat is

De expansie van het Heelal

In het voorafgaande is gesteld dat het Heelal mogelijk een zwart gat is. En op grond van formule (8) is vastgesteld dat zwarte gaten expanderen door invallende materie. Hoe kan het dan zo zijn dat het Heelal (nog steeds) expandeert?

Daarop zijn deze antwoorden mogelijk:

1 De hoeveelheid materie in het Heelal die bij de Big Bang is ontstaan is zo groot, dat de huidige straal van het Heelal nog niet groot genoeg is om aan formule (8) te voldoen.

2 Er valt van buiten het Heelal materie naar binnen waardoor expansie noodzakelijk is om aan formule(8) te voldoen.

3 Er ontstaat voortdurend materie in het Heelal waardoor expansie noodzakelijk is om aan formule (8) te voldoen.

Deze laatste mogelijkheid zou een combinatie kunnen zijn van de Big Bang theorie en de Steady State theorie. Want waarom zou de plotselinge creatie van materie tijdens de Big Bang even plotseling ophouden? Het is denkbaar dat het proces van creatie van materie permanent blijft doorgaan na de Big Bang.

Toepassing van formule(8) op micro-zwarte gaten

Tijdens of direct na de Big Bang zouden er micro-zwarte gaten zijn ontstaan ter grootte van protonen. Deze 'primordial' zwarte gaten hebben een massa van 1E9 ton = 1E12 kg 6).

Naberekening met formule (8) geeft:

- De orde van grootte van een proton is 1E-15 m 7). Stel dat dit de diameter is, dan is de straal 0,5E-15 m

- De massa van het primordial zwarte gat ter grootte van een proton is dan:

         M/R = 1,347E27 (Formule 8) :

         M = 1,347E27*0,5E-15 = 6,7E11, zeg 1E12 kg of 1E9 ton

Dit komt goed overeen met de door Hawking vermelde massa van een primordial zwart gat ter grootte van een proton in het onder 1) genoemde artikel

Daarmee rijst de vraag of de in dit onderzoek gevonden formules(8 en 8a) niet al bekend zijn . Als dat zo is dan is het vreemd dat Hawking niet ook tot dezelfde conclusies komt als die in dit onderzoek zijn gevonden, tenzij er in dit onderzoek een fout kleeft

 


 

1)Relativiteit,speciale en algemene theorie hfdst. 23, ISBN 90 274 5379 9

2) Elementary classical physics, vol 1,pg 252 ISBN 0 205 03597 3

3) Cambridge encyclopedia astronomy, pg 114 ISBN 90 228 2241 9

4) Sc. Am Oct' 94,pg33:in the known universe we can observe 100E9 galaxies with 1E9 sunlike stars.Waarschijnlijk is bedoeld 100E9 stars, zie noot 2

5)In ons melkwegstelsel zijn er 1E11 sunlike stars =100E9 (Enc. of the astronomy,cambridge, pg 313,ISBN 90 228 2241 9)

6) The quantum mechanics of black holes, S. W. Hawking, Sc. Am. Jan.'77, pg 37

7) W.P. Techn. Enc. 'Proton'


Nabeschouwing.

De uitkomst van de boven ontwikkelde theorie is, dat een hoeveelheid materie een daarbij behorende hoeveelheid ruimte dicteert en natuurlijk ook andersom volgens formule (8).

Materie en ruimte zijn geen onafhankelijke grootheden, maar staan in vast verband met elkaar.

Dit verband dat ik voorlopig de 'materie-ruimte-constante' zal noemen, strekt zich uit vanaf een willekeurig klein zwart gat tot het hele Heelal dat, zo blijkt, ook een zwart gat zou kunnen zijn.

Er bestaat ook een verband tussen ruimte en tijd: het vierdimensionele ruimte-tijd-continuum. Als materie en ruimte een vast verband vertonen en ruimte en tijd ook, dan moet er ook een dergelijk verband bestaan tussen alle drie grootheden: een materie-ruimte-tijd-relatie. Overigens geen continuum, want de verdeling van de materie in de ruimte is zeker niet continu. De vraag dringt zich op hoe de verdeling en verspreiding van de materie in de ruimte wordt bepaald. Daar is in de eerste plaats natuurlijk de boven gevonden relatie (8). Maar daaruit kan niet worden afgeleid hoe de materie in de ruimte wordt verspreidt. En het blijkt duidelijk dat materie plaatselijk bij elkaar komt in de vorm van sterren, al of niet met planetenstelselsels, en in melk- wegstelsels en in clusters daarvan, waartussen dan weer enorme lege ruimtes met enorme afstanden bestaan.

Ruimte-tijd is dan geen podium waarop- of waarin- zich onafhankelijk daarvan materiele verschijnselen afspelen, maar ruimte-tijd en materie bevinden zich in onderlinge wisselwerking en bepalen de omvang van elkaars aanwezigheid in de wereld.

Hoe zit het dan met de zwaartekracht?

Ook de zwaartekracht strekt zich uit van de kleinste materiedelen tot de grenzen van het Heelal.

Volgens de gangbare theorie zou de expansie van het Heelal tot staan moeten komen om vervolgens in te krimpen - als gevolg van de zwaartekracht - tot een uiteindelijke 'Big Crunch', waarbij de omstandigheden zouden worden benaderd die tijdens de 'Big Bang' zouden hebben geheerst.

Om de expansie van het Heelal tot staan te brengen door de zwaartekracht en vervolgens het Heelal te doen inkrimpen, zou er niet voldoende materie aanwezig zijn, zoals zou blijken uit schattingen van de in het Heelal aanwezige zichtbare materie.

Verondersteld wordt dat er nog zg. niet-zichtbare, donkere materie, aanwezig moet zijn , zoals zou blijken uit bewegingen binnen sterrenstelsels, die de expansie toch zouden keren.

Maar volgens de boven afgeleide theorie kan daarvan geen sprake zijn. Juist het tegenovergestelde is te verwachten: Zou er 'donkere' materie in het Heelal aanwezig zijn dan zal dit tot verdere expansie van het Heelal moeten leiden, althans volgens formule (8).

Hierbij is aangenomen dat de zg. 'donkere materie' en de 'zichtbare materie' op identieke wijze onderhevig zijn aan de zwaartekracht en aan de boven afgeleide 'materie-ruimte-constante'.

Uit het bovenstaande volgt dat de veronderstelling van de noodzakelijke aanwezigheid van donkere materie zou kunnen vervallen.

Volgens de hierboven ontwikkelde theorie blijven er twee mogelijkheden voor de toekomst van het Heelal:

1. De expansie van het Heelal komt tot stilstand als aan de 'materie-ruimte' constante is voldaan. De hoeveelheid materie in de kosmos blijft dan constant en de omvang van het Heelal blijft constant

2. De expansie van het Heelal blijft doorgaan als gevolg van toename van de hoeveelheid materie, hetzij door binnenvallen van buiten het Heelal of door verdergaande creatie van materie in het Heelal

In beide gevallen blijft de dichtheid van het Heelal constant

Onderzoek uitgevoerd door C.Vos te Gorinchem


Bijlage 1

                                                 Constanten                                          Bron

Lichtsnelheid in vacuum           c = 2.99792458E8 m/s                     Ch&Ph F246 Ed 61 1)

Megaparsec                              Mpc =3,0856E19  km                       Cambridge2)                       

Zonsmassa                               Mø = 1.991E30 kg                         Ch & Ph F178 Ed61

Gravitatieconstante                  G = 6.6720E-11 Nm2kg-2            Ch & Ph F247   Ed 61

Constante van Hubble          H = 45,resp 80,km/s/Mpc                Sc.Am,Nov'92,pg31

Massa proton            =1.67252E-27 kg           Ch & Ph F123 Ed61

Straal proton        in de orde van grootte 1E-15          W.P. Techn. Enc. 'Proton'

                                                    

1) Chemistry & Physics, Handbook of, 61st Ed, ISBN 0 8493 0461 X

2) Cambridge Encyclopedie Astronomie, Inleiding,ISBN 90 228 2241 9


Bijlage 2 - Dichtheid en straal Heelal-literatuurgegevens

1 Dichtheid kg/m3

        Huidig             kritisch              bron

a 1E-26                                   -                                                              Sc Am Nov'94 pg32

b 1E-27 tot 4E-26     -            Sc Am mei'88 pg86

c 2E-28 tot 5E-28    2E-27 tot 5E-27                                                    Sc Am jun'88 pg48

d 5E-27                              Sc Am mar'83 pg74 1)

e 1,67E-28                             1,67E-26                                                 Cambr Enc Astronomie pg382 2)3)

f 3,8E-27 tot 1,2E-26      Zie Bijlage 3

 

2 Straal m

a 1E26 bij huidige dichtheid van 1E-26                                                   Sc Am Nov'94 pg32

b 1E26 bij         dichtheid van 1E-26                                                        Zie bijlage 3

1) 3 protonen/1000 l = 3*1.67252E-27 kg/m3

2) 1 proton/100 l    = 10*1.67252E-27 kg/m3

3) 1 proton/10000 l = 0,1*1.67252E-27 kg/m3


Bijlage 3 - Berekeningen aan dichtheid en straal Heelal

Kritische dichtheid r = 3H2/8/Π/G   1)

Voor H = 45 is dit :3*(45/(3.0856E19/1))^2/8/Π/6.6720E-11 = 3.8E-27 kg/m3

Voor H = 80 is dit : = 1.2E-26 kg/m3

Straal Heelal = R = √(2/k.r) cm in c.g.s. eenheden.2)

   Hierin zijn : 2/k = 1,08E27, k is dan 1,85E-27

                   r = huidige dichtheid

Voor de huidige dichtheid zoals aangenomen in deze verhandeling: 1E-26 kg/m3

zal de straal zijn volgens bovenstaande formule:

                 R   = 1,04E26 m  

1) International Symposium on selected topics in Statistical Mechanics, Vol II, Doebna aug '84, pg 34

2) A. Einstein, Relativiteit, pg 109, ISBN 90 274 5379


Bijlage 4 - Eenvoudige afleiding van de Lorentz-transformatie.

Inleiding

De Lorentz-transformatie geeft het verband tussen de ruimte- en tijdcoordinaten van een gebeurtenis die wordt waargenomen in referentiestelsels die t.o.v. elkaar in beweging zijn of wat hetzelfde is: het ene stelsel is in beweging, het andere verkeert in rust. Voor een gedachte-experiment nemen we een voortbewegende trein waarin twee spiegels horizontaal zijn opgesteld en loodrecht boven elkaar. Tussen de spiegels weerkaatst een lichtstraal.

Een waarnemer in de trein ziet de lichtstraal loodrecht heen en weer flitsen tussen de spiegels.

Maar hoe ziet de waarnemer buiten de trein ditzelfde verschijnsel? Alvorens het antwoord hierop te formuleren zijn er de volgende overwegingen:

- De lichtsnelheid is voor de waarnemers in en buiten de trein dezelfde. Dit is een uitkomst van de Speciale Relativiteitstheorie: De lichtsnelheid is constant voor elk referentiestelsel ongeacht de snelheid ervan of de bewegingsrichting t.o.v. de richting van het invallend licht

- De lichtsnelheid is eindig

Het licht heeft dus tijd nodig om van de ene spiegel naar de andere te weerkaatsen. Maar in diezelfde tijd dat het licht van de ene naar de andere spiegel weerkaatst, verplaatst de trein zich. De waarnemer buiten de trein ziet dan hetzelfde verschijnsel: de lichtstraal weerkaatst tussen de spiegels, maar terwijl de lichtstraal van de ene naar de andere spiegel weerkaatst, heeft de trein zich inmiddels verplaatst en ook de spiegel waarop de lichtstraal wordt ontvangen.De waarnemer buiten de trein ziet dan de lichtstraal zich niet verticaal verplaatsen, zoals de waarnemer in de trein,maar ziet deze zich verplaatsen onder een hoek kleiner dan 900 t.o.v. de bewegingsrichting

De tijd in de trein verloopt dus trager voor de waarnemer buiten de trein.

Enigszins overdreven ziet het er zo uit:

fig 1        a                      b                                             c

         lichtstraal lichtstraal                afstand afgelegd door

         gezien in de trein                   gezien buiten de trein         de trein tijdens weerkaatsing

De lijnstukken afgelegd door het licht, zoals gezien in en buiten de trein en afgelegd door de trein tijdens de lichtweerkaatsing, drukken we uit in afgelegde weg = snelheid * tijd.

Voor de tijd in de trein nemen we t', buiten de trein waargenomen geldt voor de tijd in de trein = t. Voor de lichtsnelheid geldt c en voor de snelheid van de trein v. Dit wordt dan:

         Lichtstraal in de trein waargenomen = ct',

         Lichtstraal in de trein, buiten de trein waargenomen = ct,

         Afgelegde weg van de trein tijdens weerkaatsing = vt

De lijnstukken volgens fig 1a,b,c brengen we met elkaar in verband als volgt:

fig 2 verband tussen lichtweerkaatsing zoals waargenomen in en buiten de trein en de snelheid van de trein.

Met toepassing van de stelling van Pythagoras wordt dit verband:

    (ct)2 = (ct')2 +(vt)2 of:

     c2t2 = c2t'2 + v2t2 of:

     c2t'2= c2t2 - v2t2 of:

     t'2 = t2(1 - v2/c2) of:

     t'   =   t.√(1-v2/c2) of: t = t'/√(1-v2/c2)     (1)

NB. In het boek van Einstein') is een geheel andere afleiding gebruikt en is een wat gecompliceerder formule gevonden voor de Lorentz-transformatie van de tijd, nl

t'=(t - vx/c2)/√(1-v2/c2)                      (12)

Daarin is x een lijnstuk in de bewegingsrichting van de trein waarvoor geldt: x=vt

Substitutie in (12) geeft:

t' = t(1-v2/c2)/√(1-v2/c2) of:

t' = t(√1-v2/c2) of t = t'/√(1-v2/c2)                    (1)

Hieruit blijkt dat de boven gegeven afleiding van de Lorentz-transformatie dezelfde uitkomst geeft als die gegeven door Einstein.

')Einstein : Relativiteit, speciale en algemene theorie,Aanhangsel,blz77